Биография на питагор питагор е йонийски математик и философ, най-често свързван с Питагоровата теорема. Той е роден и живял на остров Самос



Дата11.12.2017
Размер65.02 Kb.
Размер65.02 Kb.

В Ъ В Е Д Е Н И Е
Теоремата на Питагор е може би най-известната теорема в геометрията, която помни всеки човек, който някога я е учил в училище.

Теоремата гласи, че в правоъгълният триъгълник катетите а и b, са свързани с хипотенузата в това просто съотношение:



a2 + b2 = c2

Питагоровата теорема изглежда проста, но не и очевидна. Това съчетание й придава особена привлекателна сила. Освен това теоремата има огромно значение. Фактът, че съществуват много различни доказателства на тази теорема (геометрични, алгебрични, механически и т.н.) свидетелства за огромната й приложимост. Откритието на питагоровата теорема е обвито с ореола на много красиви легенди.


КРАТКА БИОГРАФИЯ НА ПИТАГОР

Питагор е йонийски математик и философ, най-често свързван с Питагоровата теорема.Той е роден и живял на остров Самос. Негов баща бил някой си Мнесарх от Самос, който бил човек от благороден произход и добро образование. Бягайки от тиранина Поликрат, Питагор напуска Самос около 530г. пр.н.е. След това е живял над 20 години в Египет и над 10 години във Вавилон. Приема числата за основа на нещата, поради което се насочва към изучаването на количествената страна на числата. Той основава Питагорейска школа. Достъпът до тази организация е бил много труден и идеите се разглеждали в много тесен кръг. Постъпващите в този съюз давали обет за мълчание. Тази школа има основно значение за развитието на математиката, астрономията и други науки през следващите векове. На представителите на тази школа се дължи откриването на рационалните числа, както и основни за геометрията факти.

ИСТОРИЧЕСКИ ОБЗОР

Историческият обзор ще започна от древен Китай. Тук интересна е математическата книга Чу-пей. В това съчинение за питагоровата теорема се казва така

Ако разложим правият ъгъл на съставни части, то линията, съединяваща крайщата на неговите страни ще бъде 5, когато основата е 3, а височината 4”.

В същата книга има рисунка, която съвпада с един от чертежите на индийската геометрия Басхар.

Кантор (голям немски математически историк) счита, че равенството

3 ² + 4 ² = 5²

било известно на египтяните още около 2300 г. Пр.хр., по времето на фараон Аменхотеп І (съгласно папирус 6619 на Берлинския музей).

Според Кантор египетските строителите и земемерите (“специалисти по възлите”), построявали правите ъгли с помоща на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Този триъгълник е наричан египетски или свещен триъгълник.

Много лесно може да се възпроизведе начина на техните построения. Взема се връвчица с дължина 12 м. И се връзва към цветна лента на разстояние 3 м от

единия край и 4 метра от другия. Правият ъгъл ще се окаже заключен между страните с дължина 3 и 4 м. Строителите биха могли да възразят, че техният начин на построяване става излишен, ако се възползват, например от дървен ъгъл, прилаган от всички строители. И действително, има известни египетски рисунки, на които се среща такъв инструмент.

Има данни, че и на вавилонците е била известна теоремата на питагор. В един текст от времето на Хамураби, т.е. от 2000 г.пр.хр., се привежда приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълния триъгълник. От тук може да се направи извода, че и те са умеели да правят изчисления с правоъгълен тригълник, поне в някои случаи. Основавайки се, от една страна, на сегашното ниво на знания за египетската и вавилонската математика, а от друга - на старогръцки източници , Ван-дер-Варден (холандски математик) направил следният извод:

Заслугата на първите гръцки математици, такива като Талес, Питагор и питагорейците , не е откриването на математиката, а нейната систематизация и обоснование. В техните ръце изчислителните рецепти, основани на смътни представи се превърнали в точна наука.”

Геометрия при индийците, както и при египтяните и вавилонците, е била тясно свързана с култове. Много вероятно теоремата за квадрата на хипотенузата да е била извесна в Индия около 18 в пр.хр.

Формулировки на теоремата
Това са различни формулировки на теоремата на Питагор в превод от старогръцки, латински и немски езици:

При Евклид тази теорема гласи (дословен превод):

В правоъгълният триъгълник квадрата на страната натянутой над правия ъгъл е равен на квадратите на страните, заключващи правия ъгъл.”

Латинския превод на арабския текст на Аннаирици (около 900 г.пр.хр.) е направен от Герхард Клемонски (началото на 12 в) :

Във всеки правоъгълен триъгълник квадрата, образуван на страната, натянутой над правия ъгъл е равен на сумата на двата квадрата, образувани на двете страни, заклъчващи правия ъгъл”.

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в превод звучи така:

И така, площа на квадрата, измерен по дължината на страната, е толкова по-голяма, както при двата квадрата, които измерени по двете му страни, граничещи с правия ъгъл”.

В първия руски превод на евклидовите “Начала”, направен от Ф.И.Петрушевски, теоремата на Питагор е изложената така:

В правоъгълния триъгълник квадрата от страните, противолежащи на правия ъгъл е равен на сумата от квадратите от страните, съдържащи правия ъгъл”.

Най-простото доказателство


Най-простото доказателство на теоремата се вижда при равнобедрения правоъгълен треъгълник. Достатъчно е просто да се разгледа мозайката на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да се убедим в верността на теоремата: Например, за тръгълника АВС: квадрата, построен на хипотенузата АС, съдържа 4 изходни триъгълника, а квадратите, построени на катетите – по два.

Теоремата е доказана.

Доказателства по метода на разлагането

Съществуват много доказателства на теоремата на Питагор, в които квадратите построени на катетите и на хипотенузата се разрязват така, че всяка част на квадрата , построен на хипотенузата, съответствува част на един от квадратите, построени на катетите. Във всички тези случаи за разбиране на доказателствата е достатъчен един поглед на чертежа; разсъжденията тук могат да бъдат ограничени единствено с думата “Гледай”. Трябва само да се отбележи, че доказателството не трябва да се счита за пълно, докато не се докаже равенство на всички съответсващи една към друга части.



Доказателство на Ебщайн

Неговото приемущество е това, че тук в качество на съставните части разложени фигурират изключително триъгълници. За да се ориентираме в чертежа , трябва да забележим, че правата СД е прокарана перпендикулярно на правата ЕF.





Доказателство на Нилсен

На рисунката вспомагателните линии са изменени по предложение на Нилсен.




Доказателство на Бетхер

На рисунката е дадено много нагледно разлагането на Бетхер.

SHAPE \* MERGEFORMAT
Доказателство на Перикъл

В учебниците нерядко се среща разлагане като указаното на рисунката,; това доказателство е намерено от Перикъл. Чрез центъра О квадрата, построен на големия катет, прокаран право паралелно и перпендикулярно на хипотенузата. Съответствието на частите на фигурите се вижда много добре на чертежа




Доказателство на Гутхейл

Изобразеното на рисунката разложение принадлежи на Гутхейл; за него е характерно нагледното разположение на отделните части, което позволява веднага да се види, какви опростения влече след себе си равнобедренния правоъгълен триъгълник.





Доказателство от ІХ в.пр.хр.

В началото били представени само такива доказателства, в които квадрат, построен на хипотенузата, от една страна и квадратите, построени на катетите от друга, се състоят от равни части. Такива доказателства се наричат доказателства по метода на разложение. До сега ние сме изхождали от нормалното разположение на квадратите, построени на съответствуващата страна на триъгълника, т.е. вне триъгълника. Макар че в много случаи по-лесно е другото разположение на квадратите.



На рисунката квадратите, построени на катетите са стъпаловидно разположени един спрямо друг. Тази фигура , която се среща в доказателствата, датира не по-късно от ІХ в.пр.хр., индийците са я наричали “стола на булката”. Начина на построяването на квадрата от страни, равен на хипотенузата е ясен от чертежа. Общата част на двата квадрата, построени на катетите и квадрата, построен на хипотенузата – неправилно защтрихования триъгълник 5. Ако присъединим към него триъгълници 1 и 2, ще получим двата квадрата построени на катетите, ако заменим триъгълниците 1 и 2 с равните на тях тригълници 3 и 4, то ще получим квадрата, построен на хипотенузата.

В заключение още веднъж ще подчертая важността на теоремата. Значението й се състои преди всичко в това, че от нея или с нейна помощ могат да се изведат голяма част от теоремите в геометрията.







Сподели с приятели:


©zdrasti.info 2017
отнасят до администрацията

    Начална страница