Функции в математиката



Дата16.11.2017
Размер208.24 Kb.
Размер208.24 Kb.

Софийски университет logo-su-small.gif

„СВ. Климент Охридски”

Гр.София

Стопански Факултет



Курсова работа

Тема: Функции в математиката

Изготвил: Радослава Денчева, фак. № 700488

Специалност: Стопанско управление, 1-ви курс, 1-ви поток, 1-ва група

Преподавател: Албена Антонова

Дата на предаване: 14.11.2011 год.

Съдържание



Съдържание 2

Въведение 3

История на понятието 5

Терминология 6

Производна 8

Определние: 8

Правила за диференциране 9

Примерно смятане на производни 10

Тригонометрични функции 11

Определение 11

Дефиниции 12

Приложения на функциите 13

Обобщение 15

Използвана литература 16





Въведение


Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат реални числа, но също и елементи на всяко друго множество. Пример за функция е f(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.600px-graph_of_example_function.svg.png

Аргументите на функциите могат да бъдат не само числа, но и други добре определени обекти. Например, дадена функция може да съпоставя на буквата A числото 1, на буквата B числото 2 и така нататък. Съществуват много начини за описване или представяне на функциите - формули, алторитми, изчисляващи стойностите за различни аргументи, графики, които дават графично изображение на стойностите, или таблици със стойностите за конкретни аргументи, често използвани в статистиката, природните науки и техниката.

Множеството от всички възможни аргументи на дадена функция се нарича дефиниционно множество. В съвременната математика функциите обикновено се дефинират и с определено множество, включващо всички възможни стойности на функцията. Например, функциите с реални стойности имат за такова множество всички реални числа, дори когато отделни такива функции не включват всяко реално число сред своите стойности.

Функциите могат да бъдат описани и чрез отношението си към други функции. Например, като обратната функция на дадена функция или като решението на диференциално уравнение. Функциите могат за бъдат събирани, умножавани или съчетавани по други начини, за да се получат нови функции. Важно действие, извършвано върху функциите, което ги отличава от числата, е композицията, при която стойността на дадена функция става аргумент на друга функция. Групи функции с определени свойства, например непрекъснати функции или диференцируеми функции, се наричат функционни пространства и се изследват като самостоятелни обекти в области като реалния и комплексния анализ.

Съществуват неизброимо много различни функции, повечето от които не могат да бъдат описани с формула или алгоритъм. Строга дефиниция на понятието функция може да бъде формулирано в теорията на множествата с помощта на наредени двойки и релации.

Една приблизителна дефиниция на понятието функция е следната: Нека A и B са множества. Функция от A в B е правило, което съпоставя на всеки елемент от A точно един елемент от B. Тази интуитивна представа за функциите се използва от древни времена и все още се среща на места, където строга дефиниция не е необходима, например в училищните учебници по математика. Проблемът при нея е, че зависи от неясното понятие правило.


История на понятието


Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птолемей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции.Самото понятие функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията граница и производнa.

Функциите са определни като „зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията) (Ойлер, 1755).”

Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. Фурие започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез ред на Фурие. Дирихле за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция.

Терминология


Функциите се срещат във всички области на математиката и природните науки, но различните области имат различни означения, различна представа за свойствата на функциите и дори различна дефиниция. Теорията на множествата разглежда функциите в най-голяма общност. Единственото свойство, което се изисква от една функция, е да съпоставя единствена стойност на всеки свой допустим аргумент. Не се изисква аргументът или стойността да са числа, например функцията, която съпоставя на всяка държава нейната столица, не задава зависимост между числови множества. В алгебрата функциите обикновено се изразяват с помощта на алгебрични операции.graph_of_function_of_2_variables.png

Функциите, изследвани в анализа, обикновено притежават допълнителни свойства като непрекъснатост или диференцируемост. Пример за такава функция е функцията синус. Обикновено изучаваните там функции не могат да се изразят с една единствена формула. В комплексния анализ се разглеждат аналитични функции, които могат да се изразят чрез развитие в степенен ред. В комплексния анализ се разглеждат и специален клас многозначни функции, които могат да съпоставят повече от една стойност на даден аргумент. Въпреки че формално погледнато те не са функции, те имат много близки свойства до свойствата на аналитичните функции. За разлика от теорията на множествата в ламбда-смятането функциите са примитивен обект и не се дефинират посредством множества.

В много области на математиката термините карта, изображение, трансформация и оператор се използват като синоними на функция. В някои случаи обаче те могат да имат по-специално значение. Например под трансформация често се разбира функция, за която множеството на аргументите и множеството на стойностите съвпадат. В теорията на категориите се използва понятието морфизъм, което е обобщение на някои видове функции.250px-codomain2.svg.png

Аргументът на функцията, наричан също независима променлива, най-често се означава с буквата x или, когато изразява време, с буквата t. Стойността на функцията обикновено се изразява с буквата y. За самата функция в повечето случаи се използва символът f. Така изразът y = f(x) показва, че функцията, наречена f, има аргумент, наречен x, и стойност, наречена y.

Множеството от всички позволени аргументи на дадена функция се нарича нейно дефиниционно множество, а множеството от всички стойности - множество на стойностите на функцията. Така функцията f(x) = x2 има за дефиниционно множество всички реални числа, а множеството на стойностите ̀ включва всички неотрицателни реални числа.

Производна

Определние:


Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница , то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0.

Частното се нарича диференчно частно.

С други думи, производна на функцията f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 ).

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.


Правила за диференциране


Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.

(u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.

(u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) - u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) - u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv - u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).

(h(g(x)))' = h'[g(x)]g'(x)



bfb10712899b34801520e36115cdd2bd.png — формула на Лайбниц.1

(u/v)′ = (u′v−uv′)/v.v. Доказателство: Δ(u/v) = u( x + Δx ) / v( x + Δx ) − u( x ) / v( x ) = ( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) =

( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx) ) = ( Δu( x )v( x ) - u( x )Δv( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) , границата е равна на (u′v−uv′)/v.v

Примерно смятане на производни


Производната на функцията: 36a34226ca5f978b779a10febeaf0d1c.png =

dc3959cd193a0bbc6bf1998a99c24f9f.png

Смисъл на понятието

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t0) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t0

Геометрично представяне на понятието

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Производни от по-висок ред



Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна.

Тригонометрични функции

Определение


Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли.. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

  • отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;

  • координати на точка от единичната окръжност2.

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като :

  • решения на някои диференциални уравнения

  • безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.



  • Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π.

  • Синус на ъгъл α е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата

  • Косинус на ъгъл α е отношението на прилежащия катет към хипотенузата

  • Тангенс на ъгъл α е отношението на срещулежащия катет към прилежащия

  • Котангенс на ъгъл α е отношението на прилежащия катет към срещулежащия


Дефиниции




Функции

Озн.

Връзка

Дефиниционна област

Приема стойности

Синус

sin

5b5ccbbb6f4d924d302ebb7a09d8aa8f 1.png

всяко ɸ

[-1; 1]

Косинус

cos

4db2d792f47ab31a995d96a22158e152 2.png

всяко ɸ

[-1; 1]

Тангенс

tg

f12a3bfedf95f9b6efd53899feeeab4f 3.png

всяко ф без ф=кπ , к- цяло число

(-d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png, +d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png )

Котангенс

cotg

602c1fcfd670f14957945533072267e3 4.png

всяко ф=π/2 + кπ, к- цяло число

(-d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png, +d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png )



Две примерни формули са :





Приложения на функциите


Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения - диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

Основните понятия, с които работи математическият анализ, са:



  • диференциал, което означава безкрайно малка промяна на някаква стойност;

  • граница и сходимост на функция;

  • диференциране, или изчисляване на стръмността на функция;

  • интегриране, или изчислявяне на натрупването на някаква стойност.

Математическият анализ намира приложение в почти всички науки, които използват математически апарат, но най-често се използва във физиката, електрониката, информатиката, икономиката и др.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно. Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.

Функциите имат широко приложение и в статистиката, и във финансовата математика.

Пример: Промяна в цените(в проценти) на недвижимите имоти за 2010год.

Обобщение




Използвана литература


Дойчин Дойчинов, Математически анализ, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", С., 2006, ISBN 954-8495-35-X.

П.Джаков, Р. Малеев, Р. Леви, С. Троянски, Диференциално и интегрално смятане, Факултет по математика и информатика, СУ „Св. Климент Охридски“, 2007.



1 Готфрид Вилхелм фон Лайбниц е немски философ, математик, дипломат, библиотекар и юрист

2 окръжност с радиус 1 и център — началото на координатната система

Страница|



Сподели с приятели:


©zdrasti.info 2017
отнасят до администрацията

    Начална страница